- Khi thực hiện các phép biến hóa trong chứng tỏ bất đẳng thức , không được trừ nhì bất đẳng thức thuộc chiều hoặc nhân bọn chúng khi không biết rõ lốt của nhị vế . Chỉ được phép nhân nhì vế của bất đẳng thức với một biểu thức khi ta hiểu rõ dấu của biểu thức đó
- Cho một vài hữu hạn các số thực thì vào đó bao giờ ta cũng lựa chọn ra được số lớn nhất và số nhỏ tuổi nhất . Tính chất này được dùng để làm sắp trang bị tự những ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức
Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị lớp 9
Xem thêm: 9 Nguy Cơ Và Tác Dụng Của Ginkgo Biloba Với Sức Khỏe Mà Bạn Chưa Biết
Bạn đã xem trăng tròn trang mẫu của tư liệu "Chuyên đề Bất đẳng thức, bất phương trình, rất trị đại số", để cài tài liệu nơi bắt đầu về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD sinh sống trên Bất đẳng thức , bất phương trình ,cực trị đại số - Bất đẳng thức 1. Kỹ năng cần nhớ a) Định nghĩa : cho hai số a cùng b ta bao gồm a > b a – b > 0 b) một trong những bất đẳng thức cơ bạn dạng : 01) các bất đẳng thức về luỹ thừa với căn thức : cùng với A là 1 trong những biểu thức bất kỳ , vệt bằng xẩy ra khi A = 0 ; ; vết bằng xẩy ra khi A = 0 Với dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bởi không với dấu bằng xẩy ra khi B = 0 02) những bất đẳng thứcvề quý giá tuyệt so với A ngẫu nhiên , vết bằng xảy ra khi A = 0 vệt bằng xảy ra khi A và cùng dấu dấu bằng xảy ra khi A cùng B thuộc dấu cùng A> B 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) : - cho các số ( vừa đủ nhân của n số ko âm không lớn hơn trung bình cùng của bọn chúng ) vệt bằng xẩy ra khi - Bất đẳng thức Côsi mang lại hai số có thể phát biểu dưới những dạng sau : cùng với a cùng b là các số ko âm với a và b là những số ngẫu nhiên Với a cùng b là những số ngẫu nhiên Dấu bằng xảy ra khi a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn hotline là bất đẳng thức Côsi – Svac ) : - đến hai bộ các số thực: và . Lúc ấy : lốt bằng xảy ra khi : - Hoặc với ai , bi không giống 0 với nếu thì tương xứng cũng bằng 0 - Hoặc tất cả một bộ trong hai cỗ trên có toàn số không - Bất đẳng thức Côsi – Svac đến hai cặp số : vệt bằng xẩy ra khi ay = bx 05) Bất đẳng thức với x > 0 ; với x b và b > c thì a > c 02 ) đặc điểm liên quan tiền đén phép cùng : cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số trong những : ví như a> b thì a +c > b+ c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : giả dụ a > b cùng c > d thì a+c > b +d 03 ) Trừ nhì bất đẳng thức trái hướng : nếu a > b với c b – d 04 ) Các đặc thù liên quan đến phép nhân : - Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một vài Nếu a >b cùng c > 0 thì ac > bc nếu như a > b và c b >0 cùng c > d > 0 thì ac > bd trường hợp a bd Luỹ thừa nhị vế của một bất đẳng thức : với tất cả Với mọi với tất cả 0 m a > 1 với n > m 2. Một trong những điểm cần xem xét : - Khi thực hiện các phép biến đổi trong minh chứng bất đẳng thức , không được trừ nhì bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân bọn chúng khi chưa chắc chắn rõ vết của hai vế . Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng 1 biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó - Cho một vài hữu hạn các số thực thì vào đó khi nào ta cũng lựa chọn ra được số lớn số 1 và số nhỏ dại nhất . Tính chất này được dùng để sắp sản phẩm tự những ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức 3. Một số phương thức chứng minh bất đẳng thức:3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thứcVí dụ 1: chứng minh rằng với đa số số thức x thì :Giải :Ta có : với mọi x thế nên : Đúng với tất cả x dấu bằng xảy ra khi x = -3 ví dụ như 2 : mang lại a, b và a+b 0 . Chứng tỏ rằng Giải :Ta bao gồm : Xét tử của M : vì a+b 0 phải M= > 0 vị a, b cấp thiết đồng thời bởi 0 3.2. Phương thức phản chứng:Ví dụ 3: Cho cha số a, b, c hài lòng . Minh chứng rằng cả bố số đó đều dương Giải- đưa sử có một số không dương: a Ê 0Từ abc > 0 ta có: bc 0 ta có: b + c > - a > 0Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0 ị bc > - a (b + c) > 0 (**)Ta có (*) cùng (**) xích míc nhau ị đpcm.3.3. Cách thức sử dụng các bất đẳng thức cơ bản:Ví dụ 4: chứng minh rằng: cùng với x, y > 0. Ta gồm : ( 1 + x) (1 + y) (1 + )2 GiảiCách 1 : vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : bí quyết 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:Dấu bằng xẩy ra khi x = yVí dụ 5 : mang lại và 3a + 4 = 5 . Chứng minh rằng Giải :Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có : 1Dấu bằng xẩy ra khi : phương pháp 2 : từ 3a +4b = 5 ta tất cả a= Vậy Đúng với mọi x ví dụ 6 : chứng minh rằng với đa số góc nhọn x ta tất cả : a ) sin x + cosx b) tgx + cotgx 2 Giải :a) vận dụng bất đẳng thức Cosi đến hai số dương ta gồm : sin x + cosx vết bằng xảy ra khi sinx = cosx tốt x = 450b ) vày tgx , cotgx >0 . áp dụng bất đẳng thức Cosi đến hai số ta bao gồm ; tgx + cotgx ( vì chưng tgx . Cotgx = 1 ) dấu bằng xảy ra khi tgx = cotgx tốt x= 450Ví dụ 7 : mang lại . Minh chứng rằng : Giải :Ta tất cả : vận dụng bất đẳng thức Cosicho nhị số dương và ta bao gồm : mà : Vậy lốt bằng xẩy ra khi a = 4 lấy một ví dụ 8 : minh chứng rằng với tất cả số thực x , y ta gồm : Giải :Bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương cùng với : Điều này đúng bởi vì và ko đồng thời xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Cách thức sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình :Ví dụ9 : chứng tỏ rằng trường hợp phương trình:2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2Có nghiệm thì 4c2 3(a + b)2 – 8abGiảiTa có : Để phương trình gồm nghiệm thì : 3.5. Cách thức làm trội:Ví dụ10 : minh chứng với n N* thì:GiảiTa có: + .4. Các bài tập từ luyện :Bài 1: vào tam giác vuông ABC tất cả cạnh huyền bằng 1 , nhì cạnh góc vuông là b với c. Minh chứng rằng : b3 + c3 b > 0 . Chứng minh rằng b ) áp dụng so sánh và khuyên bảo giải :Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có một = b2 + c2 và 1> b; 1 > cVậy 1= b2 + c2 > b3 + c3Bài 2 : a) Ta bao gồm : vày x2 - x +1 = với tất cả x phải ( Đúng )Dấu bằng xẩy ra khi x = b ) Ta có : Đúng bởi vì a +b 0; a+b > 0 nên: (*) ( Bất đẳng thức Cosi cho 2 số )Vậy với mọi a , b > 0 b) Đặt (x-1)2 = t thì t > 0 và x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t vị 0 0 vận dụng bất đẳng thức sống câu (a) cho hai số dương t và 1-t ta được mà lại 4 - x2 p = 0Với x 0 ta có: p = x = P(x + a)2 px2 + 2 apx + pa2 = x px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0Để phương trình có nghiệm thì: (2ap – 1)2 – 4pa2 0 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p 0 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 0Giải bất phương trình bậc 2 nhận được P1 p P24. Bài tập từ bỏ luyện :Bài 1: Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của các biểu thức sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 c) C = d ) D = 3x2+5y2 với bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của những biểu thức sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) phường = ( x+1 ) (2 - x ) bài xích 3: Tìm giá bán tri lớn số 1 và bé dại nhất của biểu thức: p. = Giải:Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 đề xuất min A = 8 lúc x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 đề nghị Min B = 2007 lúc x = 3; y =2 c) Điều kiện: x 0 (*). Vận dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:Vậy MinC = 2 khi đối chiếu với (*) ta được x =-1 c) trường đoản cú Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: Vậy MinD = 2 khi x= với y = bài xích 2: a) M = 11 - (x - 2)2 cần MaxM = 11 lúc x = 2 b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 yêu cầu MaxN = 2005 khi x = 1; y = - c ) phường = ( x+1 ) (2 - x ) ( Bất đẳng thức Cosi ) Vậy MaxP = khi x = bài 3: Ta có: p. = (* ) Ta thấy phường = 0 lúc x = Với p. 0 thì cực hiếm của p phải thoả mãn cho phương trình (*) có nghiệm với x Điều này tương tự với: Vậy MaxP = lúc x = MinP = -khi x = V.3. Bất phương trình 1. Kỹ năng cần nhớ : - Bất phương trình số 1 : ax +b = 0 () + nếu như a > 0 bất phương trình tất cả nghiệm + nếu a thì f(x) và hệ số a thuộc dấu , khi x 0 ; A(x)B(x) b b b , b > c a > c+ + + + 3. Một số trong những hằng bất đẳng thức + ; xảy ra đẳng thức khi a = 0.+ . Xảy ra đẳng thức khi a = 04. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức4.1. Sử dụng định nghĩaĐể chứng tỏ A > B, ta xét hiệu A - B và minh chứng rằng A - B > 04.2. Dùng các phép đổi khác tương đươngĐể minh chứng A > B ta đổi khác tương đương trong đó bất đẳng thức An > Bn luôn đúng, vị quá trình đổi khác là tương tự nên ta suy ra A > B là đúng.4.3. Dùng bất đẳng thức phụĐể minh chứng A > B, ta bắt nguồn từ một hằng bất đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đơn giản và dễ dàng (gọi là bđt phụ) và đổi khác tương đương suy ra A > B.II- những nhận xét và các bài toán minh hoạ cho câu hỏi ứng dụng, khai quật một bất đẳng thức lớp 8Nhận xét :Trong công tác toán T.H.C.S gồm một bất đẳng thức thân thuộc mà việc vận dụng của nó trong lúc giải những bài tập đại số với hình học tập rất bao gồm hiệu quả. Ta thường điện thoại tư vấn đó là “bất đẳng thức kép”. Đó là bất đẳng thức sau :Với hồ hết a, b ta luôn có : (*)Nhận thấy (*) Cả cha bất đẳng thức trên đều tương đương với hằng bất đẳng thức và cho nên vì thế chúng xẩy ra đẳng thức khi a = b.ý nghĩa của bất đẳng thức (*) là nêu bắt buộc quan hệ thân tổng nhì số với tích hai số cùng với tổng những bình phương của nhị số đó.Sau đây là một số ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai quật bất đẳng thức (*).Bài toán 1:Cho a + b = 1 . Chứng tỏ rằng: ; ; * Giải : vận dụng bất đẳng thức (1) cùng giả thiết a + b = 1 ta có: ; .Đẳng thức xẩy ra khi a = b = 1/2.* khai thác bài toánNhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bđt (1) với tăng số mũ của phát triển thành ta chiếm được các công dụng như:Tổng quát tháo ta có việc sau:Bài toán 1.1: mang lại a + b = 1 . Minh chứng rằng: phương pháp giải việc 1.1 ta áp dụng cách thức quy nạp toán học cùng làm tương tự bài toán 1.Nhận xét 2: tiếp tục khái quát câu hỏi 1.1 khi chũm giả thiết a + b = 1 vì giả thiết a + b = k , làm tựa như như bên trên ta bao gồm Vậy có câu hỏi 1.2 như sau:Bài toán 1.2: cho a + b = k . Triệu chứng minh: dấn xét 3: Từ vấn đề 1.2 nếu ta vắt giả thiết a + b = k vị b = k - a ta được bài toán 1.3:Chứng minh : với đa số k .* khai quật sâu bài bác toánNhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) thường xuyên 2 lần ta tất cả kết quả:Tổng quát lác ta có bài toán sau:Bài toán1.4:Chứng minh : a) b) nhận xét 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) thường xuyên nhiều lần với tăng số thay đổi ta có:.Vậy có câu hỏi 1.5:Chứng minh: Cứ liên tiếp suy luận sâu không dừng lại ở đó ta thu được nhiều bài toán tổng thể hơn.Bài toán 2: mang lại a, b, c > 0.Chứng minh rằng: * Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta bao gồm : (vì a, b, c > 0) ( vị (a+b)(b+c)(c+a) > 0 với 8abc > 0).Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c .* khai quật bài toánNhận xét 1: Nếu mang lại a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. Khi ấy ta có 1 - a, 1- b, 1 - c > 0 và có một + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). áp dụng bài toán 2 ta được : Vậy có vấn đề 2.1:Cho a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. Chứng minh: nhấn xét 2: Ta liên tục khai thác sâu hơn bài toán bằng cách cho a + b + c = n > 0 . Khi đó giống như như việc 2.1 ta có câu hỏi 2.2:Cho a, b, c > 0 với a + b + c = n > 0. Chứng tỏ : việc 3:Chứng minh rằng với đa số a, b, c ta gồm : * Giải : áp dụng bất đẳng thức (3) ta gồm : đ.p.c.mCó đẳng thức lúc a = b = c.* khai thác bài toánNhận xét 1 : Nếu áp dụng bài toán 3 cùng tăng số mũ lên, giữ nguyên số biến chuyển ta tất cả (*) lại áp dụng bài toán 3 đợt tiếp nhữa ta gồm (**) . Từ (*) cùng (**) ta thu được kết quả là . Vậy có câu hỏi 3.1:Chứng minh rằng với đa số a, b, c ta tất cả : .Nhận xét 2: nếu tăng số trở nên và giữ nguyên số nón của biến hóa với phương pháp làm như vấn đề 3 ta có câu hỏi 3.2:Chứng minh rằng: với mọi Bài toán 4 :Chứng minh rằng với tất cả a, b, c, d ta gồm :* Giải :áp dụng bất đẳng thức (3) ta tất cả : đ.p.c.mCó đẳng thức lúc a = b = c = d* khai thác bài toánNhận xét 1: Nếu vậy b = c = d = 1 ta gồm bđt Vậy có việc 4.1:Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của A = thừa nhận xét 2: Nếu khai thác bài toán 4 theo phía tăng số biến, số mũ lên, ta Có bài toán tổng quát sau:Bài toán 4.2:Chứng minh rằng với mọi số với ta có:.Bài toán 5 :Cho a + b + c + d = 2 . Chứng minh : * khai quật bài toánNhận xét 1: Nếu thế hằng số 2 ở mang thiết vày số k ta được công dụng . Vậy có việc tổng quát hơn hoàn toàn như là sau:Bài toán 5.1:Cho a + b + c + d = k . Minh chứng : thừa nhận xét 2: Ta còn rất có thể tổng quát việc 5.1 ở tại mức độ cao hơn bằng cách tăng số biến hóa của việc . Khi đó bài toán 5.1 chỉ cần trường phù hợp riêng của câu hỏi sau:Bài toán 5.2:Cho = k . Hội chứng minh: với Để giải việc này thì cả hai phương pháp làm của câu hỏi 5 làm việc trên đưa vào áp dụng không thích hợp lý, ta sẽ có tác dụng như sau:áp dụng bđt (3) ta có: ; ; ; (vì ) (đ.p.c.m). Từ kia suy ra : cùng với (1.1)Vậy có việc 5.3: hội chứng minh: cùng với .Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta được những vấn đề như : chứng tỏ : . Cụ thể những bđt này nếu sử dụng cách thức dùng quan niệm hoặc đổi khác tương đương thì hết sức khó xử lý .* khai quật sâu bài toánNếu tiếp tục nâng số mũ lên cao hơn theo cách khai thác của bài toán 1.4 ta thu được kết quả tổng quát không chỉ có thế chẳng hạn:Bài toán 5.4:Chứng minh: a) với b) với c) với (1.2)Rõ ràng những bất đẳng thức này còn chặt hơn hết bđt Cô Si với cũng ko cần điều kiện gì của biến.Tiểu kết 1: Trên đây ta đã khai thác và cải tiến và phát triển từ những bài bác toán đơn giản để chiếm được những bài toán mới, những công dụng mới tổng thể hơn.Bất đẳng thức (1.1) là ngôi trường hợp bao quát của bất đẳng thức (1) lúc ta khai thác theo phía tăng số trở thành của bài bác toán.Bất đẳng thức (1.2) là trường hợp tổng quát của bất đẳng thức (1) lúc ta khai thác theo phía tăng cả số mũ và số biến.Tiểu kết 2:Để khai thác, cải cách và phát triển một vấn đề về bất đẳng thức ta có thể đi theo một trong những hướng như sau: Hướng đầu tiên : tổng quát hoá các hằng số có trong bài xích toán, ví dụ như những bài toán 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1Hướng thiết bị hai : không thay đổi số trở thành và tăng số mũ của những biến dẫn đến tổng thể hoá số mũ, ví dụ những bài toán 1.1; 1.4Hướng thứ ba : không thay đổi số mũ cùng tăng số biến của những biến dẫn đến tổng quát hoá số biến, ví dụ những bài toán 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3Hướng thứ tư : tổng quát hoá lẫn cả về số mũ cùng số biến, lấy ví dụ như các bài toán 4.2; 5.2; 5.4Hướng máy năm : Đổi biến, quan trọng hoá từ vấn đề tổng quát, lấy ví dụ như những bài toán 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trên đây là các ví dụ vận dụng bđt (*) vào câu hỏi giải các bài toán đại số và một số trong những phương hướng để khai thác một bài toán. Hiệu quả thu được sau khi khai thác bđt (1) là bđt : với (1.1) cùng bđt: với (1.2)Hoàn toàn giống như như bên trên ( chứng tỏ bằng quy nạp toán học tập ) ta cũng có tác dụng khi khai quật bđt (2) như sau: với (2.1)Từ bđt (1.2) với bđt (2.1) ta có bđt bao quát của bđt (*) như sau: với (*.1) bởi vậy khi làm kết thúc một bài bác toán dù là bài toán dễ dàng , người làm toán tránh việc thoả mãn ngay lập tức với lời giải của mình mà yêu cầu tiếp tục lưu ý đến những vụ việc xung quanh bài toán, tra cứu ra các bài toán bắt đầu hay hơn, tổng thể hơn, sau đó quan trọng hoá vấn đề tổng quát để sở hữu được những bài toán lạ mắt hơn, độc đáo hơn. Điều đó làm cho người học toán ngày càng say mê bộ môn, đồng thời cũng là bí quyết rèn luyện tứ duy, nghiên cứu và phân tích để chiếm lĩnh kho tàng tri thức của nhân loại. MOÄT KYế THUAÄT CHệÙNG MINH BAÁT ẹAÚNG THệÙC COÙ ẹIEÀU KIEÄN ===========Trong moọt soỏ baứi toaựn Baỏt ủaỳng thửực coự moọt soỏ khaự nhieàu baứi toaựn chửựng minh maứ caực aồn coự ủieàu kieọn raứng buoọc; daùng: “Cho C D. Chửựng minh A B”Coự moọt kyừ thuaọt ủeồ chửựng minh laứ ta ủi tửứ chửựng minh: (A – B) + (D –C) 0; khi ủoự tửỷ ủieàu kieọn C D ta suy ra ủửụùc A BSau ủaõy laứ moọt soỏ vớ duù:Baứi toaựn 1: đến a + b 1. Chửựng minh raống: a2 + b2 1/2Giaỷi: Ta coự (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – 1/2 = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2 0. Maứ a + b 1 suy ra: 1 – a – b 0 => a2 + b2 – một nửa 0 giỏi a2 + b2 1/2Baứi toaựn 2: Chửựng minh raống neỏu a + b 2 thỡ a3 + b3 a4 + b4Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) 0Maứ a + b 2 => 2 – a – b 0 => a4 + b4 – a3 + b3 0 => a3 + b3 a4 + b4Baứi toaựn 3: đến x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn: x3 + y4 x2 + y3. Chửựng minh raống:x3 + y3 x2 + y2 vaứ x2 + y3 x + y2Giaỷi: a/ Ta coự: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2 0Maứ x3 + y4 x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3 0 => x3 + y3 x2 + y2b/ Ta coự: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 == x(1 – x)2 + y2(y – 1)2 0 (vỡ x > 0)Maứ x3 + y4 x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3 0 => x2 + y3 x + y2Baứi toaựn 4: Chửựng minh raống neỏu: a + b + c 3 thỡ a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) = = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1 0Maứ: a + b + c 3 => 3 – a – b – c 0 => a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3Baứi toaựn 5: mang lại x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn x3 + y3 = x – y. Chửựng minh raống: x2 + y2 0 ( vỡ lẽ x; y > 0)=> x2 + y2
